EJERCICIOS RESUELTOS DE POLINOMIOS

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

P(x) = 2x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = 3x2 − 2x + 1


P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.


A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:


Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2


Procedemos igual que antes.

5x3 : x2 = 5 x


Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x2 = 8


10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Objetivo A: Multiplicar Polinomios



Para multiplicar un polinomio por un monomio se utiliza la Propiedad Distributiva y la Regla para la Multiplicación de Expresiones Exponenciales.


Simplifica: -2x( x2 - 4x - 3)


Usar la propiedad distributiva.

Usar Regla para la Multiplicación de Expresiones Exponenciales. -2x ( x2 - 4x - 3)

-2x(x2) + (2x) (4x) + (2x) (3) Cómputo Mental

-2x3 + 8x2 + 6x


La multiplicación de los polinomios requiere la aplicación

repetida de la propiedad distributiva. (y - 2) ( y2 + 3y + 1)

(y + -2)(y2) + ( y + -2)(3y) + (y + -2)(1)

y3 + -2y2 + 3y2 + -6y + y + -2 =

y3 + y2 - 5y - 2


Un método conveniente para multiplicar dos polinomios es usando el formato vertical que es similar a la Multiplicación de números enteros.


Pasos:


Multiplica cada término en el trinomio por -2.

Multiplica cada término en el trinomio por y. y2 + 3y + 1

x y + -2

-2y2 + -6y + -2

y3+3y2 + y

y3 + y2 + -5y + -2 = y3 + y2 - 5y - 2



Simplifica (a2 - 3) ( a + 5)


Pasos:


Multiplica cada término de a2-3 por 5.

Multiplica cada término de a2 - 3 por a.

Arregla los términos en orden descendente.

Sumar los términos de cada columna. a2 + -3

x a + 5

5a2 + -15

a3 -3a

a3 + 5a2 - 3a - 15


Ejemplo 1


Simplifica: ( 5x + 4) (-2x)


Solución:


(5x + 4) (-2x) = -10x2 - 8x


Ejemplo 2


Simplifica : x3 ( 2x2 - 3x + 2)


Solución:


x3 ( 2x2 + -3x + 2) = 2x5 - 3x4 + 2x3


Ejemplo 3:


Simplifica: ( 2b3 - b + 1) ( b+3)


Solución: 2b3 + -b + 1

x 2b + 3

6b3 - 3b + 3

4b4 -2b2 + 2b

4b4 + 6b3 - 2b2 - b + 3


Ejemplo 4:


Simplifica: (x2 - 1)(x + 3)


Solución: x2 + -1

x x + 3

3x2 + -3

x3 - x

x3 + 3x2 - x + -3 = x3 + 3x2 - x - 3



Objetivo B: Multiplicación de dos binomios


Es frecuentemente necesario hallar el producto de dos binomios. El producto puede ser encontrado con el métdo PAIU, el cual está basado en la propiedad distributiva. Las letras representan lo siguiente: P = primero, A = afuera, I = interiores, U = últimos.


Simplifica: ( 2x + 3) ( x + 5)


Multiplica los Primeros términos ( 2x + 3) ( x+ 5) 2x · x = 2x2

Multiplica los términos de Afuera (2x + 3) (x + 5) 2x · 5 = 10x

Multiplica los términos Interiores (2x + 3) ( x + 5) 3 · = 3x

Multiplica los Ultimos Términos (2x + 3) ( x+ 5) 3 · 5 = 15


Sumar combinando los términos semejantes.

P A I U

(2x + 3) ( x + 5) = 2x2 + 10x + 3x + 15

= 2x2 + 13x + 15


Simplifica ( 4x - 3) (3x - 2)



(4x - 3) (3x - 2) = 4x (3x) + 4x (-2) + (-3)(3x) + (-3) (-2) ( Hacer este paso mentalmente)

= 12x2 - 8x - 9x = 6

= 12x2 - 17x + 6



Simplifica: ( 3x - 2y) ( x + 4y)


(3x - 2y) (x + 4y) = 3x(x) + 3x (4y) + (-2y)(x) + (-2y)(4y) ( Hacer este paso mentalmente)

= 3x2 + 12xy - 2xy - 8y2

= 3x2 + 10xy - 8y2


Ejemplo 1:


Simplifica: ( y + 4) ( y - 7)


Solución:


(y + 4) ( y - 7) = y2 - 7y + 4y - 28

= y2 - 3y - 28


Ejemplo 2:


Simplifica: (2a - 1) ( 3a - 2)


Solución:


(2a - 1) (3a - 2) = 6a2 - 4a - 3a + 2

= 6a2 - 7a + 2



Ejemplo 3:


Simplifica: ( 2x - 3y) (3x + 4y)


Solución:


(2x - 3y) (3x + 4y) = 6x2 + 8xy - 9xy - 12y2

= 6x2 - xy - 12y2


Objetivo C: Multiplicar binomios que tienen productos especiales


Usando PAIU, podemos encontrar el producto de una suma y diferencia de dos términos y para el cuadrado de un binomio ( el binomio multiplicado por él mismo)

La Suma y Diferencia de Dos Términos


(a + b) ( a - b) = a2 - ab + ab - b2

= a2 - b2

El cuadrado del primer término El cuadrado del segundo término


El Cuadrado de un Binomio


Simplifica : (2x + 3) (2x - 3)


(2x + 3) (2x - 3) es una diferencia de cubos.


Hacer este paso mentalmente

(2x + 3) (2x - 3) = (2x)2 - 3(2x) + 3(2x) - 9

= 4x2 -6x + 6x - 9

= 4x2 - 9



Simplifica: (3x - 2) 2


(3x - 2)2 es el cuadrado de un binomio.

(3x - 2)2 = (3x)2 + 2(3x)(-2) + (-2)2 ( Hacer este paso mentalmente)


= 9x2 - 12x + 4



Ejemplo 1


Simplifica (4z - 2w) (4z + 2w)


Solución: (4z - 2w) (4z+ 2w) = 16z2 - 4w2


Ejemplo 2


Simplifica: ( 2a + 5c) (2a - 5c)


Solución: (2a + 5c) (2a - 5c) = 4a2 - 25c



Ejemplo 3:


Simplifica: (2r - 3s)2 =


Solución: ( 2r - 3s)2 = 4r2 - 12rs + 9s2

EJERCICIOS DE SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

A. Escribir los polinomios en orden descendente.


1. x + 7 - 4x2 - 3x3

2. 4x2 + 3x3 - x + 9

3. 2x5 + x - 4x3 + 9 - x2 + x4

4. 9x2 - 6 + 3x

5. 3x + 9 - 5x3


B. Identifica el grado del polinomio.


1. 4x5 + 9x - 6

2. 3x2 + 7x + 1

3. 4x4 - 9x - 5

4. 3c5 - 9c

5. p + 7p3 - p5



C. Simplificar por medio de suma, usando el formato vertical.


1. (4x2 + 6x - 9) + (-x2 - 2x + 4)

2. (x2 - 9x + 1) + ( 3x2 - 4x + 6)

3. (2x2 - 9x + 3) + ( -5x2 + 7x - 1)


D. Simplificar por medio de suma, usando el formato horizontal.


1. ( 3x2 - 9x + 1) + (x2 -2x + 4)

2. (-3x2 + 6x - 9)+ (-3x2 - x + 2)

3. (-6x2 + 4x - 9) + (-3x2 - x + 2)


E. Simplificar por medio de resta, usando el formato vertical.


1. ( 4x2 - 6x + 9) - ( -x2 + 7x - 8)

2. (3x2 + 7x + 1) - ( 6x2 + x - 1)

3. (4x2 + 5x - 3) - (-3x2 - x + 6)


F. Simplificar por medio de resta, usando el formato horizontal.


1. ( -2x2 + 3x - 1) - ( 4x2 + 6x - 9)

2. (5x2 + 2x + 6) - ( 3x2 + x - 9)

3. (x2 - 6x + 8) - ( 2x2 - x + 8)

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3         Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

 Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) +  Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

3Sumamos los monomios semejantes.

P(x) +  Q(x) = 4x³ − 3x² + 9x − 3

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x⁴ + 4x² + 7x + 2        Q(x) = 6x³ + 8x +3

P(x) + Q(x) = 7x⁴ + 6x³ + 4x² + 15x + 5

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3

P(x) −  Q(x) = 3x² + x − 3